CALCULATRICES ET GRANDS NOMBRES
En quoi diffèrent les 3 calculatrices scientifiques suivantes :
SHARP EL-512, HP 48G, TI-86 ?
Entre autres choses, dans leur capacité à exprimer les très grands nombres.
Ainsi pour la HP-48G, le plus grand nombre exprimable est de <1E500. La Sharp paraît plus limitée avec seulement <1E100. La TI-86 fait quant à elle figure de championne des grands nombres avec des possibilités allant jusqu’à <1E1000 !
L’homme simple se pose la question : une telle capacité est-elle utile ?
Pour tenter de répondre concrètement à cette question, j’ai imaginé un énoncé dont le résultat est nécessairement as-tro-no-mique !
Considérons 2 cubes, l’un le plus petit possible, et l’autre le plus gros possible. Et regardons combien de fois le grand contient le petit.
Dimensions retenue pour le petit cube : Quelle longueur d’arête retenir ? L’univers étant illimité, dans le petit comme le grand, il faut bien se fixer une limite, si possible pas totalement éloignée de notre environnement immédiat, pour que l’exercice ne soit pas une stricte abstraction. Cherchons dans notre univers familier la plus petite longueur perceptible ? Le millimètre ? Bien trop grand … le micromètre ? trop petit, invisible même. Pourquoi pas l’épaisseur d’une page de livre ? C’est si fin qu’on peut tout juste la voir, et en même temps, un livre de 200 pages (donc 100 pages réelles), ça fait quand même 1 cm d’épaisseur. Donc c’est décidé, mon cube aura 0.1 millimètre d’arête.
Dimensions retenue pour le grand cube : Les savants fixent l’âge de l’univers à 15 milliards d’années. La distance de 15 milliards d’années-lumière, parcourue par un rayon lumineux depuis la naissance de l’univers jusqu’à maintenant sera ma seconde unité : La longueur d’arête de mon très gros cube sera en conséquence de 15 milliards d’années-lumière.
Et donc la question : combien de cubes minuscules contenus dans le gigantesque ?
Avant de sortir la calculatrice, il est nécessaire de convertir dans un premier temps les différentes longueurs en une unité de référence, le mètre par exemple.
Petit cube : Ainsi le petit cube de 0.1 millimètre d’arête a pour volume : 0.0001m ^ 3 = 1E-12 mètres-cube.
Gros cube : La lumière parcourtant 300.000 km par seconde, une année-lumière mesure 9,4608E+15 mètres. Le gros cube a donc une arête de 1,41912E+26 mètres et un volume de 2,85797E+78 mètres-cube.
Il ne reste plus qu’à faire la division et là, surprise, pas besoin de sortir la TI-86, ni même la HP-48. La petite EL-512 suffit à exprimer ce nombre absolument colossal : une portion cubique d’univers de 15.000.000.000 d’années-lumière d’arête contient le mini-cube tout juste visible 2,85797E+90 fois !
La preuve est faite, les capacités de ma petite SHARP EL-512 me suffisent 😉