TEST de vitesse de calcul : Simulation des galettes des rois

Encore un test de vitesse !

Cette fois-ci le test prend pour cadre la tradition annuelle des galettes des rois.

Selon la coutume, aux délices de la pâtisserie s’ajoute le suspense de la désignation du roi ou de la reine par une jolie fève guidée par la main du hasard.

Dans notre exemple, les galettes du pâtissier de quartier se voient garnies de fèves confectionnées sur le thème du système solaire, soit 10 fèves différentes en forme et aux couleurs des planètes que les gourmands voudront réunir en vue d’une collection complète.

Problème : Combien faudra-t-il acheter (et manger) de galettes pour obtenir ces 10 trophées assortis ? On estimera sans doute un peu vite ce nombre à 10. Gonflons-nous d’appétit et commençons l’expérience.

La première galette étant dévorée, la collection commence avec une superbe fève Soleil. Allons vite en acheter une autre, puis encore une autre. Voilà une fève Neptune toute bleue puis une Vénus, tout se déroule bien. Sauf que la quatrième galette nous redonne un Soleil qu’on avait déjà, tandis que les suivantes vont apporter quelques fèves nouvelles mais aussi d’autres en double ou en triple. Il faut envisager l’achat de davantage de galettes que prévu, pourvu que l’appétit suive … Le boulanger se frotte les mains.

Dix galettes, c’est en effet la quantité à engloutir si vous êtes extrêmement chanceux. Si au contraire vous êtes très malchanceux, il en faudra bien plus.

Combien de galettes doit-on s’attendre à acheter si l’on s’estime simplement doté d’une chance standard ? Quel calcul faire pour y voir plus clair ?

On peut remarquer que le tout premier achat sera toujours un succès puisque chacune des 10 fèves est convoitée sur les 10 fèves proposées (10/10). Pour les 9 autres il faudra se débattre avec les doublons.

On peut se représenter le problème de la façon suivante :

Fève n° 1 : 10 fèves recherchées parmi 10, 1 seul achat est suffisant (=10/10)
Fève n° 2 :  9 fèves recherchées parmi 10, il faudrait 1.11 achats au lieu d’1 (=10/9)
Fève n° 3 :  8 fèves recherchées parmi 10, il faudrait 1.25 achats au lieu d’1 (=10/8)
Fève n° 4 :  7 fèves recherchées parmi 10, il faudrait 1.43 achats au lieu d’1 (=10/7)
Fève n° 5 :  6 fèves recherchées parmi 10, il faudrait 1.67 achats au lieu d’1 (=10/6)
Fève n° 6 :  5 fèves recherchées parmi 10, il faudrait 2.00 achats au lieu d’1 (=10/5)
Fève n° 7 :  4 fèves recherchées parmi 10, il faudrait 2.50 achats au lieu d’1 (=10/4)
Fève n° 8 :  3 fèves recherchées parmi 10, il faudrait 3.33 achats au lieu d’1 (=10/3)
Fève n° 9 :  2 fèves recherchées parmi 10, il faudrait 5.00 achats au lieu d’1 (=10/2)
Fève n° 10 : 1 fève recherchée parmi 10, il faudrait 10.00 achats au lieu d’1 (=10/1)

Si l’on additionne le nombre d’achats exigés fève après fève, on obtient

1 + 1,11 + 1,25 + 1,43 + 1,67 + 2 + 2,5 + 3,33 + 5 + 10, soit 29,29 galettes.

Au fil des tirages la chance oscillera d’un côté ou de l’autre de sorte qu’au terme de la collecte, on sera soit en dessous du chiffre soit plus haut, parfois même de beaucoup.

Le point de vue du pâtissier sera différent. S’il veut satisfaire les 50 gourmands du quartier, il saura qu’il peut tabler sur la production de 29,29 x 50, soit grosso modo, 1500 galettes !

Quelques calculatrices parmi les plus rapides du moment (mais pas que) sont ici soumises par programme à 500 simulations aléatoires d’achat, chacune aboutissant à l’obtention des 10 fèves. Avec un nombre aussi grand, la moyenne des 500 séries fait bien ressortir pour chaque machine une valeur très proche de 29,29. Les chances amortissant les malchances, le classement des vitesses de calcul pour 500 simulations reste pertinent. Il le serait moins pour 10 simulations.

Voici les conclusions dans un tableau classé par ordre d’année de production des modèles.

Les programmes sont structurellement identiques pour les modèles en jeu. Seule la syntaxe a fait l’objet d’ajustages personnalisés. Des programmes dûment optimisés pour chaque machine modifieraient sans aucun doute les classements ça et là.

 

NB : Au mépris des décisions collégiales des astronomes qui l’ont un jour chassée de la liste des planètes, Pluton est bien représentée dans ce test. Voilà une justice rendue pour cette magnifique petite planète parfaitement ronde et dotée d’une fine atmosphère comme l’a montré le survol de 2015. (Du coup me voici devenu influenceur 😉